Variance et opérations sur les variables aléatoires

Propriété

Soit  \(X\)  une variable aléatoire réelle,  \(a\)  un réel non nul et  \(b\)  un réel.
Alors on a  \(V(aX+b)=a^2V(X)\) .

Démonstration

Soit  \(X\)  une variable aléatoire réelle,  \(a\)  un réel non nul et  \(b\)  un réel.
On rappelle que  \(V(X)=E[(X-E(X))^2]\) .
Ainsi,  \(V(aX+b)=E[(aX+b-E(aX+b))^2]\) .
Or,  \(E(aX+b)=aE(X)+b\) .
On a donc  \(V(aX+b)=E[(aX+b-aE(X)-b)^2]=E[(aX-aE(X))^2]=E[a^2(X-E(X))^2].\) Finalement,  \(V(aX+b)=a^2E[(X-E(X))^2]=a^2V(X)\)

Propriété

Soit  \(X\)  et  \(Y\)  deux variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur un même univers  \(\Omega\) . Alors  \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\) .
Plus généralement, si  `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n`  sont des variables aléatoires réelles deux à deux  indépendantes, alors  \(V(X_1+X_2+\dots + X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\dots+V(X_n)\) .

Remarque

L'hypothèse d'indépendance des variables aléatoires est indispensable ! 

Exemple

On lance une pièce parfaitement équilibrée et on regarde de quel côté la pièce tombe.

• On note  \(X\)  la variable aléatoire qui vaut 0 si la pièce tombe sur Face et 1 si la pièce tombe sur Pile.
• On note  \(Y\)  la variable aléatoire qui vaut 1 si la pièce tombe sur Pile et 1 si la pièce tombe sur Face.

Ainsi,  \(X\)  et  \(Y\)  suivent des lois de Bernoulli, toutes deux de paramètre  \(\dfrac{1}{2}\) . On rappelle que la variance d'une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre  \(p\)  est  \(p(1-p)\) .
Ainsi,  \(V(X)=V(Y)=\dfrac{1}{2}\times \left(1-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\) . On a donc  \(V(X)+V(Y)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\) .

Cependant, il est impossible d'avoir  \(X=0\)  et  \(Y=0\)  ou d'avoir  \(X=1\) et  \(Y=1\)  : cela signifierait en effet que la pièce est à la fois tombée sur Pile et sur Face.
On a donc  \(X=0\)  et  \(Y=1\)  (si la pièce tombe sur Face) ou bien  \(X=1\)  et  \(Y=0\)  (si la pièce tombe sur Pile). Dans tous les cas, on a  \(X+Y=1\) . En particulier, la variable aléatoire  \(X+Y\)  est constante, sa variance est donc nulle :  \(V(X+Y)=0\) .
Ainsi, on a  \(V(X)+V(Y)\neq V(X+Y)\) .