Variance et opérations sur les variables aléatoires

Propriété

Soit  $X$  une variable aléatoire réelle,  $a$  un réel non nul et  $b$  un réel.
Alors on a  $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ .

Démonstration

Soit  $X$  une variable aléatoire réelle,  $a$  un réel non nul et  $b$  un réel.
On rappelle que  $V(X)=E[(X-E(X){)}^2]$ .
Ainsi,  $V(aX+b)=E[(aX+b-E(aX+b){)}^2]$ .
Or,  $E(aX+b)=aE(X)+b$ .
On a donc  $V(aX+b)=E[(aX+b-aE(X)-b{)}^2]=E[(aX-aE(X){)}^2]=E[a^2(X-E(X){)}^2].$ Finalement,  $V(aX+b)=a^{2}E[(X-E(X){)}^2]=a^{2}V(X)$

Propriété

Soit  $X$  et  $Y$  deux variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur un même univers  $\mathrm{\Omega }$ . Alors  $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ .
Plus généralement, si  $X_1$ ,  $X_2$ , ...,  $X_n$  sont des variables aléatoires réelles deux à deux  indépendantes, alors  $V(X_1+X_2+\cdots +X_n)=V(X_1)+V(X_2)+\cdots +V(X_n)$ .

Remarque

L'hypothèse d'indépendance des variables aléatoires est indispensable ! 

Exemple

On lance une pièce parfaitement équilibrée et on regarde de quel côté la pièce tombe.

• On note  $X$  la variable aléatoire qui vaut 0 si la pièce tombe sur Face et 1 si la pièce tombe sur Pile.
• On note  $Y$  la variable aléatoire qui vaut 1 si la pièce tombe sur Pile et 1 si la pièce tombe sur Face.

Ainsi,  $X$  et  $Y$  suivent des lois de Bernoulli, toutes deux de paramètre  ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ . On rappelle que la variance d'une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre  $p$  est  $p(1-p)$ .
Ainsi,  $V(X)=V(Y)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (1-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}$ . On a donc  $V(X)+V(Y)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ .

Cependant, il est impossible d'avoir  $X=0$  et  $Y=0$  ou d'avoir  $X=1$ et  $Y=1$  : cela signifierait en effet que la pièce est à la fois tombée sur Pile et sur Face.
On a donc  $X=0$  et  $Y=1$  (si la pièce tombe sur Face) ou bien  $X=1$  et  $Y=0$  (si la pièce tombe sur Pile). Dans tous les cas, on a  $X+Y=1$ . En particulier, la variable aléatoire  $X+Y$  est constante, sa variance est donc nulle :  $V(X+Y)=0$ .
Ainsi, on a  $V(X)+V(Y)\ne V(X+Y)$ .